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Die Modifizierte Z-Transformation stellt eine Erweiterung der zeitdiskreten Z-Transformation dar, um auch Signalwerte zwischen ganzzahligen Abtastzeitpunkten im Rahmen der zeitdiskreten Regelungstechnik verarbeiten zu können. Die dafür nötigen Modifikationen der Z-Transformation wurden in Arbeiten von Eliahu Ibrahim Jury im Jahr 1958 vorgestellt.cite-ref-jury1-1-0[1] Primäre Anwendung liegt bei der Erkennung von Instabilitäten zufolge der zeitdiskreten Signalverarbeitung von Regelstrecken, beispielsweise im Bereich der Leistungselektronik für hochdynamische elektrische Antriebssysteme.

• Definition

• Korrespondenzen

• Einzelnachweise

• Literatur

Die modifizierte Z-Transformation weist für kausale Signale mit positiven und ganzzahligen k folgende Definition auf:

G ( z , m ) = ∑ ∑ k = 0 ∞ ∞ f ( ( k + m ) T ) z − − k {\displaystyle G(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f((k+m)T)z^{-k}\ }

mit T {\displaystyle T} der Periodendauer und einem „Verzögerungsfaktor“ m {\displaystyle m} , der einen Teil der Periodendauer darstellt und im Bereich [ 0 , 1 ) {\displaystyle [0,1)} liegt.

Anschaulich stellt die modifizierte Z-Transformation eine unilaterale Z-Transformation dar, die vor dem Abtastglied zur Gewinnung der diskreten Signalfolge ein zusätzliches Laufzeitglied mit der Verzögerung

e − − ( 1 − − m ) T s {\displaystyle \mathrm {e} ^{-(1-m)Ts}}

aufweist. Bei zeitlich konstanten m {\displaystyle m} gelten die Eigenschaften der Z-Transformation.

Einige der wichtigen Korrespondenzen der modifizierten Z-Transformation lauten:

| Zeitbereich f(t) | Spektralbereich G(z,m) |

|---|---|

| σ(t) | z z − 1 {\displaystyle {\frac {z}{z-1}}} |

| t {\displaystyle t} | m T z − 1 + T ( z − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {mT}{z-1}}+{\frac {T}{(z-1)^{2}}}} |

| e − a t {\displaystyle \mathrm {e} ^{-at}} | e − a m T z − e − a T {\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{-amT}}{z-\mathrm {e} ^{-aT}}}} |

| 1 − e − a t {\displaystyle 1-\mathrm {e} ^{-at}} | 1 z − 1 + e − a m T z − e − a T {\displaystyle {\frac {1}{z-1}}+{\frac {\mathrm {e} ^{-amT}}{z-\mathrm {e} ^{-aT}}}} |

| sin ⁡ ( ω t ) {\displaystyle \sin(\omega t)} | z sin ⁡ ( m ω T ) + sin ⁡ ( ( 1 − m ) ω T ) z 2 − 2 z cos ⁡ ω T + 1 {\displaystyle {\frac {z\sin {(m\omega T)}+\sin {((1-m)\omega T)}}{z^{2}-2z\cos {\omega T}+1}}} |

Für m = 0 {\displaystyle m=0} gehen die Korrespondenzen in die Formen der Z-Transformation über. Die modifizierte Z-Transformation wird daher auch als erweiterte Z-Transformation bezeichnet.

cite-note-jury1-11. ↑ Eliahu Ibrahim Jury: Sampled-Data Control Systems. John Wiley & Sons, 1958.

• Dierk Schröder: Elektrische Antriebe - Regelung von Antriebssystemen. 3. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89612-8, Kapitel 6.